Живут или живёт — как правильно?

Я думаю, что правильней использовать форму множественного числа сказуемого:
Здесь живут Иван и дети.
Здесь живут Мазай и зайцы.

Дети, зайцы — одушевленные существительные во множественном числе.

На согласование сказуемого оказывает влияние множественное число одного из однородных подлежащих:
В постель её уложили ревность и слёзы (Чехов).
Кроме того, форма множественного числа предпочтительнее, если подчёркивается большое число действующих лиц (обычно это одушевлённые субъекты):
Кричали Витя, Павлик, Кирилл и бегавший кругом них Арсений Романович.

Две односпальные койки в доме означали, что здесь живут только Лиза и её мать и у Лизы нет ни мужа, ни отца. [Алексей Иванов (Алексей Маврин). Псоглавцы. Гл. 1-20 (2011)]

Здесь живут губернатор, депутаты, крупные предприниматели ― домашний союз чиновничества и купечества. [Юлия Вишневецкая. Почему Россия — не Москва // «Русский репортер», № 43 (122), 12-19 ноября 2009]

§ 190. Согласование сказуемого с однородными подлежащими
Некоторые особенности согласования

Строгого ограничения тут нет, можно использовать любую форму.

По смыслу, множественное число разделяет деятельность на все подлежащие поровну, а единственное выделяет некоего лидера из перечисления (первое однородное подлежащее).

Есть еще конвенция, согласно которой, если сказуемое предшествует подлежащим, то используется форма единственного числа, а если идет после, то множественного:

живет Мазай и заяц

Мазай и заяц живут

Но ей часто пренебрегают и официальным правилом она не является.