extends Vueはtypescriptの機能ですか？

TypeScript の構文は JavaScript の構文を拡張する形で作られています。つまり JavaScript で使える構文は TypeScript でも使えます（あくまで構文の話であって、コンパイルすると型エラーが出ることはあるかもしれませんが）。

つまり、class を extends する構文は JavaScript で使えますが、TypeScript でも使えます。どちらでも使える構文です。

こんにちは、はじめまして。

まずTypeScriptはaltJSと呼ばれるものの一種で、実行時にJavaScriptに変換されるスクリプトです。
JavaScriptだとどこでも動いて便利ですが、静的型付けを使ってしっかり作りたいとか、ミスを減らしたいなどの理由で開発がさかんです。

extends VueはVue.extend()のこととして解釈しますが(もし違ったらご指摘ください)、これはVueコンポーネントを継承して新規にコンポーネントを作成する命令でTypeScriptと親和性が高いとされています。もちろんJavaScriptからも利用できます。

https://vuejs.org/v2/api/#Vue-extend

最後に、Vue.extend()がjavascriptの機能かtypescriptの機能かという話ですが、これはVue.jsの機能じゃないでしょうか。Vue.js自体はjavascriptで書かれてるようですね。

追記

extends構文に関することとのことでしたので追記します。extends構文はJavaScriptにはES6(2015)から実装された比較的新しいものです。TypeScriptで作成したスクリプトではextendsの構文を利用してそれ以前のJavaScriptの環境でも動作させることもできます。講師の方がここで説明されたいのは、そのことではないかと思われます。