Generar un número aleatorio en Java que se repita más veces que los demas, se puede con random?

Como indica @Rodrigo, una opción es crear un array con los elementos en la proporción que quieres. Haciendo una selección aleatoria uniforme (java.util.Random) se seleccionan los elementos de la lista con la misma probabilidad, por lo que, al haber elementos repetidos en la lista, aumenta la probabilidad de éstos.

Random random = new Random();
int[] elems = { ... };
int value = elems[random.nextInt(elems.length)];

random.nextInt(elems.length) te selecciona un número aleatorio de 0 a elems.length - 1, que se usa como índice para seleccionar un elemento del array.

Esto puede cumplir la función para casos simples pero, en general, es poco adecuado, tedioso y es necesario crear una lista muy larga para cuadrar probabilidades concretas.

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Otra opción más sencilla y menos tosca es usar alguna librería como Apache Commons math library (maven, jar). La clase EnumeratedIntegerDistribution te permite indicar las probabilidades de cada elemento.

int[] values = { ... };
double[] probs = { ... };
        
EnumeratedIntegerDistribution dist = new EnumeratedIntegerDistribution(values, probs);
int value = dist.sample();

Ejemplo

public static void main(String[] args) {
    
    // APACHE COMMONS MATH
    // 0 = 20% | 1 = 10% | 2 = 5% | 3 = 40% | 4 = 15% | 5 = 10%
    int[] values =   {  0,   1,    2,   3,    4,   5};
    double[] probs = {0.2, 0.1, 0.05, 0.4, 0.15, 0.1};
    
    EnumeratedIntegerDistribution dist = new EnumeratedIntegerDistribution(values, probs);

    HashMap<Integer, Integer> counter = new HashMap<>();
    
    // Generación de 100 elementos
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        int value = dist.sample();
        counter.put(value, counter.getOrDefault(value, 0) + 1);
    }
    
    System.out.println(counter);
    // {0=21, 1=8, 2=6, 3=42, 4=19, 5=4}  Los resultados variarán de una ejecución a otra
    
    
    // ------------------------------------------------
    
    // RANDOM
    HashMap<Integer, Integer> counter2 = new HashMap<>();
    
    Random random = new Random();
    int[] elems = {0,0,0,1,1,2,2,2,2,3};    // 0 = 30% | 1 = 20% | 2 = 40%, 3 = 10%
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        int value = elems[random.nextInt(elems.length)];
        counter2.put(value, counter2.getOrDefault(value, 0) + 1);
    }
    System.out.println(counter2);
    // {0=38, 1=20, 2=32, 3=10}
    
}