Verificar que un valor existen en un JSON localStorage

// find elements
var button = $("button")

window.localStorage.setItem("Jugadores","[]"); 

// handle click and add class
button.on("click", function(){
  	if ($.trim($('#txtplayer').val())==''){         
            alert('Ingresa tu nombre de jugador');
            $('#txtpalabra').focus();
            return false;
        }

        var jugador =$('#txtplayer').val();
        var Jugadores = localStorage.getItem("Jugadores"); 
        Jugadores = JSON.parse(Jugadores);
        
        if(Jugadores.length == 0)
        {
        	var jugador_push = JSON.stringify({
                    "player" : jugador,
                    "score" : 0
                });
                Jugadores.push(jugador_push);
                localStorage.setItem("Jugadores", JSON.stringify(Jugadores));
        }
        else
        {
            var yaExiste = false;

            for(var i in Jugadores)
            {
                var con = JSON.parse(Jugadores[i]);
                //if(con[i].player === j){
                  //console.log(con[i].player); 
                //}
                if(con.player == jugador){
                    yaExiste = true;
                }
            }
            
            if(yaExiste)
            {
               console.log(con.player);
            }
            else
            {
                var jugador_push = JSON.stringify({
                        "player" : jugador,
                        "score" : 0
                 });
                 Jugadores.push(jugador_push);
                 localStorage.setItem("Jugadores", JSON.stringify(Jugadores));
            }
        }

        console.log(localStorage.getItem("Jugadores"))
})

<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.8.3/jquery.min.js"></script>
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  <p>Jugadores</p>
  <input id="txtplayer" value=""/>
  <button>Agregar</button>
</div>